Раздел 4: Мир глазами Поля Дирака
4.3. Фермионы
Интерференция тождественных частиц
Как отмечалось, все электроны эквивалентны друг другу.
Это означает, что в случае системы с несколькими электронами в различных
состояниях принципиально невозможно указать, какой из электронов реально
находится в каждом из состояний. Общие принципы квантово-механического
описания позволяют описать эту “классически странную” ситуацию весьма
просто: существует множество ортогональных базисных состояний системы (на
самом деле неразличимых), соответствующих всевозможным размещениям “мысленно
занумерованных” электронов по одноэлектронным состояниям, а реализующееся в
природе состояние есть их суперпозиция. Например, простой двухэлектронной
системой с двумя состояниями является атом гелия, один электрон которого
находится на самом нижнем энергетическом уровне |S}, а другой - на ближайшем
возбуждённом уровне |P}. Мыслимы симметричная и антисимметричная линейные
комбинации эквивалентных состояний:
(1) |
|±} = |
1
|
(|S-1; P-2} ± |S-2; P-1}) |
√2 |
В рамках релятивистской квантовой теории исходя из
требований релятивистской инвариантности и положительности числа частиц в
системе может быть получен однозначный ответ на вопрос, какое из этих двух
состояний реализуется в природе: амплитуды тождественных частиц с
полуцелым спином интерферируют, всегда образуя антисимметричные
состояния, в случае систем тождественных частиц с целым спином всегда
реализуются симметричные системы. По мнению Р.Фейнмана
сложность доказательства столь просто формулируемого правила свидетельствует
о неполноте наших знаний фундаментальных законов природы.
Фермионы
Из правила интерференции непосредственно следует принцип
Паули для электронов: в случае нахождения двух электронов в полностью
эквивалентных состояниях (все квантовые числа одинаковы) разность в (1)
превращается в 0, что означает равную нулю вероятность реализации такого
состояния, т.е. его невозможность.
Специфическое свойство частиц с полуцелым спином (“фермионов”)
не занимать состояния с уже имеющейся частицей видоизменяет функцию их
распределения по сравнению с классической статистикой Больцмана:
(2) |
f(W) = |
const
|
exp( |
W / kT |
) - 1 |
Распределение (2) получило название статистики Ферми-Дирака.
Указанному свойству фермионов наш мир “обязан” своим
многообразием: если бы запрета Паули не существовало, электроны всех атомов
собирались бы на самом нижнем энергетическом уровне, химические свойства
различных элементов были бы одинаковыми. |